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最速?!第72回国試問題解説①（第72回診療放射線技師国家試験午前5）

診療放射線技師国家試験 診療画像機器学 医用工学

こんにちは！

今回から最新の第72回の国試問題解説をやっていきます！

最速かどうか定かではありませんが、少し難しいかなと思った問題について解説していきたいと思います。

できる限り正確な解説を心掛けていますが、誤った解釈をしている可能性も十分ありますので、誤りがありましたら遠慮せずご指摘ください！

ただ、簡単な解説だけではもう少し待てば手に入る国試の過去問題集と同じになってしまうので、少し詳しく補足を加えながら解説していけたらと思います。

第1回は午前5の問題です。

5　変圧器の等価回路を図に示す。

励磁アドミタンス\dot{Y_0}を無視して二次側に換算したとき、二次側電圧\dot{V_2}を示す式はどれか。

ただし、aは巻線比とする。


f:id:Yuru-yuru:20200327162611j:plain


1　a \dot{V_1} + \{a ^2 r_1 + r_2 + j(a ^2 x_1 + x_2)\}a \dot{I_1}

2　a \dot{V_1} + \{a ^2 r_1 + r_2 + j(a ^2 x_1 + x_2)\}a ^2 \dot{I_1}

3　a \dot{V_1} - \{a ^2 r_1 + r_2 + j(a ^2 x_1 + x_2)\}(\dot{I_1}/a)

4　a \dot{V_1} - \{r_1 + a ^2 r_2 + j(x_1 + a ^2 x_2)\}(\dot{I_1}/a)

5　a \dot{V_1} + \{a ^2 r_1 + r_2 + j(a ^2 x_1 + x_2)\}(\dot{I_1}/a)


診療画像機器学の等価回路に関する問題ですね。

午前の初っ端から多くの受験生が面食らったのではないでしょうか。

初めは国試の難問シリーズで出そうと思ったのですが、難問というほどでもないかと思ったので国試の解説として出すことにしました笑

覚えていれば全然大したことない問題ですが、残念ながら私は忘れていたので自力で導きました笑

では、まず基本から復習しましょう。


基礎の確認

変圧器と等価回路の基礎について復習します。


変圧器

変圧器については以前の記事でも簡単にまとめています。

yuruyurudokugaku.hatenablog.jp

この記事でも書いているように変圧比（巻数比）と電圧・電流の関係は以下の式で表されます。

　{\frac{V_2}{V_1}} = {\frac{N_2}{N_1}} = {\frac{I_1}{I_2}} = a

電気工学ではこの逆比で定義されている場合が多いと思います。

これは変電設備などでは変圧器が降圧に用いられるためですが、X線高電圧発生装置では昇圧を行うため、このように定義されているのだと思います。

変圧器はこれだけ押さえておけば大丈夫です。


等価回路

実は等価回路についてよく分かっていなくても今回の問題は解けてしまうのですが、今後の出題も考えて少しだけ確認します。

等価回路では変圧器などを含む2つの回路を一次側もしくは二次側に換算して1つの回路のように扱うものです。

先程の図を使って考えてみます。

f:id:Yuru-yuru:20200327162611j:plain:w500

まずは一次側換算からやってみましょう。

先程の変圧比の式より、

　E_1 = {\frac{1}{a}} E_2

　I_1 = a I_2

となるため、二次側のインピーダンスZ_2を一次側に換算したインピーダンスZ_2'は

　Z_2' = {\frac{E_2/a}{aI_2}} = {\frac{1}{a ^2}}Z_2

となります。

同様に二次側換算を考えてみましょう！



できたでしょうか？

先程の変圧比の式より、

　E_2 = a E_1

　I_2 = {\frac{1}{a}} I_1

となるため、一次側のインピーダンスZ_1を二次側に換算したインピーダンスZ_1'は、

　Z_1' = {\frac{a E_1}{I_1/a}} = a ^2 Z_1

となりますね。

等価回路もこの程度で大丈夫です。

では、問題を解いていきましょう！


問題解説

せっかく等価回路の基本を復習したんですが、これを覚えていなくても解けるので、その解き方で解いていきます。

もう一度回路を確認します。

f:id:Yuru-yuru:20200327193530j:plain:w500

励磁アドミタンスを無視して考えます。

一次側、二次側の回路それぞれについて、

f:id:Yuru-yuru:20200327194535j:plain:w500

　\dot{V_1} - (r_1 + j x_1) \dot{I_1} - \dot{E_1} = 0・・・①

　\dot{E_2} - (r_2 + j x_2) \dot{I_2} - \dot{V_2} = 0・・・②

となるため、

　\dot{E_1} = \dot{V_1} - (r_1 + j x_1) \dot{I_1}

　\dot{E_2} = \dot{V_2} + (r_2 + j x_2) \dot{I_2}

E_2 = a E_1より、

　\dot{V_2} + (r_2 + j x_2) \dot{I_2} = a \{\dot{V_1} - (r_1 + j x_1) \dot{I_1}\}

　\dot{V_2} = a \{\dot{V_1} - (r_1 + j x_1) \dot{I_1}\} - (r_2 + j x_2) \dot{I_2}

さらに、I_2 = {\frac{\dot{I_1}}{a}}より、

　\dot{V_2} = a \{\dot{V_1} - (r_1 + j x_1) \dot{I_1}\} - (r_2 + j x_2) {\frac{\dot{I_1}}{a}}

少し式変形すると、

　\dot{V_2} = a \dot{V_1} -\{a ^2(r_1 + j x_1) - (r_2 + j x_2)\} {\frac{\dot{I_1}}{a}}　

　　 = a \dot{V_1} - \{a ^2r_1 + r_2 - j(a ^2x_1 + x_2)\} {\frac{\dot{I_1}}{a}}　

となります。

よって３が正答となります。

先程の等価回路の式を思い出すと、一次側のインピーダンスを二次側に換算した場合、

　Z_1' = a ^2 Z_1

でしたよね。

導いた式を見ると、一次側のインピーダンスがちゃんとa ^2倍になっています。

個人的には今回紹介した方法なら変圧器の式さえ覚えていれば解けるのでオススメです。

少し式が複雑になりましたが、理解できたでしょうか？

ではまた！