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「三対子生成」を理解する

放射線物理学

こんにちは！

今回は三対子生成についてまとめていきたいと思います。

電子対生成なら知ってるけど、三対子生成って何？という方が多いかと思います。

国試の勉強が進んでいれば、しきいエネルギーがなぜか2.044 MeVになるやつだ！と思い当たる方もいるでしょう。

では、まず基本となる電子対生成から復習しましょう。

電子対生成とは
三対子生成とは
三対子生成のしきいエネルギー

電子対生成とは

電子対生成は光子と物質の相互作用の1つであり、物質に入射した光子が消滅して電子-陽電子対が生成される現象です。

消滅した入射光子の持つエネルギーhνは、

・電子、陽電子の静止質量エネルギー

・電子、陽電子の運動エネルギー

に変換されます。

つまり、電子対生成が起きるためには少なくとも電子-陽電子対の静止質量エネルギーが必要となります。

これがしきいエネルギーです。

電子の静止質量エネルギーは0.511 MeVですから、同じ質量の陽電子と合わせて1.022 MeVは少なくとも必要だということになります。

電子と陽電子の運動エネルギーは入射光子のエネルギーから電子-陽電子対の静止質量エネルギーを引いて余ったエネルギーが分配されます。

式で示すと、

$h \nu = 2m_0 c ^2 + E_e ^- + E_e ^+$

$m_0 c ^2$ ：電子(陽電子)の静止質量エネルギー

$E_e$ ：電子・陽電子の運動エネルギー

となります。

電子対生成について復習したところで、次は三対子生成について理解しましょう。

三対子生成とは

三対子生成はあるしきいエネルギー以上のエネルギーをもつ光子が物質に入射したとき、軌道電子を反跳させると同時に電子対生成を起こす現象です。

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軌道電子を反跳させるので、電子対生成のしきいエネルギーより大きなエネルギーが必要となります。

では、どのくらいのエネルギーが必要なのでしょうか？

普通に考えると、

「電子対生成は電子2個分の静止質量エネルギー(1.022 MeV)だったし、三対子生成は3個分(1.533 MeV)かな？」

って思いますよね。

しかし、予想に反して三対子生成のしきいエネルギーは2.044 MeVです。

何故そうなるのか計算してみましょう！

三対子生成のしきいエネルギー

このしきいエネルギーを求めるためには、相互作用前後について、エネルギー保存則と運動量保存則を基に立式する必要があります。

まずはエネルギー保存則より、

$h \nu + m_0 c ^2 = 3m c ^2$

となります。

この式の左辺（相互作用前）は入射光子のエネルギー $h \nu$ と反跳される軌道電子の静止質量エネルギー $m_0 c ^2$ の和になります。

続いて右辺（相互作用後）は飛び出す2つの電子と1つの陽電子の全エネルギーです（3つの電子が全て同じエネルギーをもつと仮定）。

ここで全エネルギーとしているのはしきいエネルギーぴったりでない限り、飛び出す電子・陽電子は運動エネルギーをもつためです。

この全エネルギー $m c ^2$ は以下の式で表されます。

$m c ^2 = {\frac{m_0 c ^2}{\sqrt{1- \beta ^2}}}$

$\beta = {\frac{v}{c}}$

次に運動量保存則より、

${\frac{h \nu}{c}} = 3mv$

この式の左辺は光子の運動量、右辺は2つの電子と1つの陽電子の運動量になります。

相互作用前の軌道電子は静止しているので運動量は0です。

ここで、 $\beta = {\frac{v}{c}}$ より

${\frac{h \nu}{c}} = 3m \beta c$

$h \nu = {\frac{3m_0 c ^2}{\sqrt{1- \beta ^2}}}\beta$

と変形できます。

これを先程の式に代入すると、

${\frac{3m_0 c ^2}{\sqrt{1- \beta ^2}}}\beta + m_0 c ^2 = {\frac{3m_0 c ^2}{\sqrt{1- \beta ^2}}}$

　　　　　　　 $1 = {\frac{3-3 \beta}{\sqrt{1- \beta ^2}}}$

　　　 $\sqrt{1- \beta ^2} = 3-3 \beta$

　　　　 $1- \beta ^2 = 9-18 \beta+9 \beta ^2$

$10 \beta ^2-18 \beta+8 = 0$

　　　　　　　 $\beta = {\frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{10}}$

　　　　　　　 $\beta = {\frac{9 \pm 1}{10}}$

　　　　　　　 $\beta = 1, 0.8$

β＝1は電子の速度が光速と等しいことを示すので不適と考えると、β＝0.8になります。

したがって、

$h \nu = {\frac{3 \beta}{\sqrt{1- \beta ^2}}}m_0 c ^2 = {\frac{3 \times 0.8}{\sqrt{1- 0.8 ^2}}}m _0 c ^2 = {\frac{2.4}{0.6}}m_0 c ^2 = 4m_0 c ^2$

これより、三対子生成のしきいエネルギーは2.044 MeVになることがわかります。

いかがでしたか？

少しめんどくさい計算ですが一応は納得できたかと思います。

詳しい教科書でなければ省略されがちな部分ですので、もやもやしていた部分が少しでもスッキリしたら幸いです。

また何か誤りがあれば優しくご指摘ください。

ではまた！